已知m>1,直线l:x-my-m22=0,椭圆C:x2m2+y2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点.(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;(Ⅱ)设
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已知m>1,直线l:x-my-m22=0,椭圆C:x2m2+y2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点.(Ⅰ)当直线l过右焦点F2时,求直线l的方程;(Ⅱ)设
题型:不详
难度:
来源:
已知m>1,直线l:x-my-
m
2
2
=0,椭圆C:
x
2
m
2
+y
2
=1,F
1
、F
2
分别为椭圆C的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线l过右焦点F
2
时,求直线l的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,△AF
1
F
2
,△BF
1
F
2
的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)因为直线l:x-my-
m
2
2
=0,经过F
2
(
m
2
-1
,0),
所以
m
2
-1
=
m
2
2
,得m
2
=2,
又因为m>1,所以m=
2
,
故直线l的方程为x-
2
y-1=0.
(Ⅱ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
由
x=my+
m
2
2
x
2
m
2
+
y
2
=1
,消去x得
2y
2
+my+
m
2
4
-1=0
则由△=m
2
-8(
m
2
4
-1)=-m
2
+8>0,知m
2
<8,
且有y
1
+y
2
=-
m
2
,y
1
y
2
=
m
2
8
-
1
2
.
由于F
1
(-c,0),F
2
(c,0),故O为F
1
F
2
的中点,
由
AG
=2
GO
,
BH
=2
H0
,可知G(
x
1
3
,
y
1
,3
),H(
x
2
3
,
y
2
3
)
|GH|
2
=
(
x
1
-
x
2
)
2
9
+
(
y
1
-
y
2
)
2
9
设M是GH的中点,则M(
x
1
+
x
2
6
,
y
1
+
y
2
6
),
由题意可知2|MO|<|GH|
即4[(
x
1
+
x
2
6
)
2
+(
y
1
+
y
2
6
)
2
]<
(
x
1
-
x
2
)
2
9
+
(
y
1
-
y
2
)
2
9
即x
1
x
2
+y
1
y
2
<0
而x
1
x
2
+y
1
y
2
=(my
1
+
m
2
2
)(my
2
+
m
2
2
)+y
1
y
2
=(m
2
+1)(
m
2
8
-
1
2
)
所以(
m
2
8
-
1
2
)<0,即m
2
<4
又因为m>1且△>0
所以1<m<2.
所以m的取值范围是(1,2).
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦点为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),且经过点
P(1,
3
2
)
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过F
1
的直线l与椭圆C交于A、B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF
2
为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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直线l与双曲线
x
2
2
-
y
2
=1
的同一支相交于A,B两点,线段AB的中点在直线y=2x上,则直线AB的斜率为( )
A.4
B.2
C.
1
2
D.
1
4
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知点A(-2,0),B(2,0),M(-1,0),直线PA,PB相交于点P,且它们的斜率之积为
-
3
4
.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)试判断以PB为直径的圆与圆x
2
+y
2
=4的位置关系,并说明理由;
(3)直线PM与椭圆的另一个交点为N,求△OPN面积的最大值(O为坐标原点).
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率
e=
1
2
,一个顶点的坐标为
(0,
3
)
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C的左焦点为F,右顶点为A,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M,N两点且
AM
•
AN
=0
,试问:是否存在实数λ,使得S
△FMN
=λS
△AMN
成立,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆M、抛物线N的焦点均在x轴上的,且M的中心和M的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:
x
3
-2
4
2
y
-2
3
0
-4
2
2
题型:不详
难度:
|
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