如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

题型：不详难度：来源：

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程．

答案

（1）∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0）
∴联立方程

y=kx y2=2px

解得xA=

2p

k2

，yA=

2p

k

（4分）
以-

1

k

代上式中的k，解方程组

y=- 1 k x y2=2px

，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（

2p

k2

，

2p

k

），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得

x=p( 1 k2 +k2) y=p( 1 k -k)

（10分）
消去参数k，得y²=px-2p²；即为M点轨迹的普通方程．（12分）