如图,过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.(1)设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标;(2)求弦AB中点M的轨迹方程.

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.(1)设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标;(2)求弦AB中点M的轨迹方程.

题型:不详难度:来源:
如图,过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.
(1)设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标;
(2)求弦AB中点M的轨迹方程.
答案
(1)∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为y=kx(k≠0)
∴联立方程





y=kx
y2=2px
解得xA=
2p
k2
yA=
2p
k
(4分)
-
1
k
代上式中的k,解方程组





y=-
1
k
x
y2=2px
,解得xB=2pk2,yB=-2pk
∴A(
2p
k2
2p
k
),B(2pk2,-2pk)(8分)
(2)设AB中点M(x,y),则由中点坐标公式,得





x=p(
1
k2
+k2)
y=p(
1
k
-k)
(10分)
消去参数k,得y2=px-2p2;即为M点轨迹的普通方程.(12分)
举一反三
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为


3
2
,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P(0,1),Q(0,2).设M,N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点,直线PM与QN相交于点T,求证:点T在椭圆C上.
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抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=
8


6
11

(1)求抛物线的方程;
(2)在x轴上是否存在一点C,使△ABC为正三角形?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图椭圆C的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点,点P(1,0),且BPy轴,△APB的面积为
9
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.
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直线y=2x+1与椭圆
x2
4
+
y2
16
=1
的位置关系是(  )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
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如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=


2
|MD|,点A、F1的坐标分别为(0,


2
),(-1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.
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