抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=8611.(1)求抛物线的方程;(2)在x轴上是否存在一点C,

抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=8611.(1)求抛物线的方程;(2)在x轴上是否存在一点C,

题型:不详难度:来源:
抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点,且|AB|=
8


6
11

(1)求抛物线的方程;
(2)在x轴上是否存在一点C,使△ABC为正三角形?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),





y2=2px
x+y-1=0
消去y,
得x2-2(1+p)x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2(1+p),
x1•x2=1.∵|AB|=
8


6
11



(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
8


6
11

∴121p2+242p-48=0,
∴p=
2
11
或-
24
11
(舍).
∴抛物线的方程为y2=
4
11
x.

(2)设AB的中点为D,则D(
13
11
,-
2
11
)

假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0),∵△ABC为正三角形,
∴CD⊥AB,∴x0=
15
11

∴C(
15
11
,0
),∴|CD|=
2


2
11

又∵|CD|=


3
2
|AB|=
12


2
11

故矛盾,∴x轴上不存在点C,使△ABC为正三角形.
举一反三
如图椭圆C的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
,A是椭圆C的短轴左顶点,过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点,点P(1,0),且BPy轴,△APB的面积为
9
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)在直线AB上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.
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直线y=2x+1与椭圆
x2
4
+
y2
16
=1
的位置关系是(  )
A.相交B.相切C.相离D.不确定
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如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=


2
|MD|,点A、F1的坐标分别为(0,


2
),(-1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.
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直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4,


CB
=3


BF
,则p=(  )
A.2B.
4
3
C.
8
3
D.4
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已知双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的离心率e=


2
且点P(3,


7
)
在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为2


2
,求直线l的方程.
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