如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(32,2),椭圆的离心率e=223.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M
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如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(32,2),椭圆的离心率e=223.(1)求椭圆C的方程;(2)过点M
题型:不详
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)经过点M(3
2
,
2
),椭圆的离心率e=
2
2
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B.若∠AMB的平分线与y轴平行,试探究直线AB的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.
答案
(1)∵椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)经过点M(3
2
,
2
),椭圆的离心率e=
2
2
3
.
∴
18
a
2
+
2
b
2
=1
c
a
=
2
2
3
a
2
=
b
2
+
c
2
,解得
a
2
=36
b
2
=4,
c
2
=32
.
因此椭圆方程为
x
2
36
+
y
2
4
=1
(2)设直线MA的斜率为k,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
∵∠AMB的平分线与y轴平行,∴直线MA与MB的斜率互为相反数,
设直线MB的斜率为k,联立直线MA与椭圆方程:
y=kx+
2
-3
2
k
x
2
36
+
y
2
4
=1
,
整理得
(9
k
2
+1)
x
2
+18
2
k(1-3k)x+162
k
2
-108k-18=0
,
解得
x
1
=
18
2
(3
k
2
-k)
9
k
2
+1
-3
2
,
x
2
=
18
2
(3
k
2
+k)
9
k
2
+1
-3
2
,
可得
x
2
-
x
1
=
36
2
k
9
k
2
+1
,
x
2
+
x
1
=
108
2
k
2
9
k
2
+1
-6
2
,
又
y
2
-
y
1
=-k(
x
2
+
x
1
)+6
2
k=
-108
k
3
9
k
2
+1
+12
2
k=
12
2
k
9
k
2
+1
,
∴
k
AB
=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
=
12
2
k
9
k
2
+1
36
2
k
9
k
2
+1
=
1
3
为定值.
举一反三
如图,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)
2
+y
2
=r
2
(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求
TM
•
TN
的最小值,并求此时圆T的方程;
(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|•|OS|为定值.
题型:不详
难度:
|
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对于直线L:y=kx+1是否存在这样的实数,使得L与双曲线C:3x
2
-y
2
=1的交点A,B关于直线y=ax(a为常数)对称?若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为
-
1
2
,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>
3
.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2
,与双曲线x
2
-y
2
=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.
x
2
8
+
y
2
2
=1
B.
x
2
12
+
y
2
6
=1
C.
x
2
16
+
y
2
4
=1
D.
x
2
20
+
y
2
5
=1
题型:不详
难度:
|
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已知曲线C:(5-m)x
2
+(m-2)y
2
=8(m∈R)
(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.
题型:不详
难度:
|
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