如图，椭圆Γ的中心在坐标原点O，过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点，NP=N

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如图，椭圆Γ的中心在坐标原点O，过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点，NP=NQ，求直线l的方程．

答案

（1）设椭圆Γ的方程为

=1（a＞b＞0），
∵过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．
∴

c=1

2b2

a2=b2+c2

解得a=2，b=

，c=1．
∴椭圆Γ的方程为

=1．
（2）连接ON，由椭圆的对称性OP=OQ，
∵NP=NQ，∴ON⊥PQ，
∵

，∴N(1，-

)，
∴kON=-

，kl=-

kON

，
∴直线l的方程为y=

x．

举一反三

如图，设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆C：

+y2=1(a＞1)的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且

PF1

•

PF2

最小值为0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n，若l₁、l₂均与椭圆C相切，证明：m+n=0；
（3）在（2）的条件下，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．

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已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点．直线l与抛物线C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设

•

，求直线l的方程．

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已知抛物线Σ₁：y=

x2的焦点F在椭圆Σ₂：

=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ₁相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ₂的焦点F₂．
（1）求椭圆Σ₂的方程；
（2）设椭圆Σ₂的另一个焦点为F₁，试判断直线FF₁与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

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给定椭圆C：

=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-

，0)，F2(

，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=

a2+b2-b

．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

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已知半椭圆

=1(y≥0)和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆

=1(y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(

，-

)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

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