已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点．直线l与抛物线C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．（1）

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已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点K（-1，0）为直线l与抛物线C准线的交点．直线l与抛物线C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设

•

，求直线l的方程．

答案

（1）依题意知-

=-1，解得p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x．（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁），且设直线l的方程为x=my-1（m≠0）．
将x=my-1代入y²=4x，并整理得y²-4my+4=0，
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4．
所以x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，
x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=1．
因为

=（x₁-1，y₁），

=（x₂-1，y₂），
所以

•

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，
所以8-4m²=

，解得m=±

，
所以直线l的方程为x=±

y-1，
即3x-4y+3=0或3x+4y+3=0．（14分）

举一反三

已知抛物线Σ₁：y=

x2的焦点F在椭圆Σ₂：

=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ₁相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ₂的焦点F₂．
（1）求椭圆Σ₂的方程；
（2）设椭圆Σ₂的另一个焦点为F₁，试判断直线FF₁与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．

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给定椭圆C：

=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-

，0)，F2(

，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|

M1F1

|+|

M1F2

|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2

，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-

cosθ

sinθ

，mn=-

sinθ

(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=

a2+b2-b

．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

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已知半椭圆

=1(y≥0)和半圆x²+y²=b²（y≤0）组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆

=1(y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x²+y²=b²（y≤0）上异于A，B的任意一点，当点P位于点M(

，-

)时，△AGP的面积最大．
（1）求曲线C的方程；
（2）连PC、PD交AB分别于点E、F，求证：AE²+BF²为定值．

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过椭圆

+y2=1的左焦点F₁的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求

•

AF1

的范围；
（2）若

⊥

，求直线l的方程．

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已知两定点E(-

，0)，F(

，0)，动点P满足

•

=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足

-1)

，点M的轨迹为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值．

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