过椭圆x22+y2=1的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求AO•AF1的范围;(2)若OA⊥OB,求直线l的方程.

过椭圆x22+y2=1的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点.(1)求AO•AF1的范围;(2)若OA⊥OB,求直线l的方程.

题型:不详难度:来源:
过椭圆
x2
2
+y2=1
的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求


AO


AF1
的范围;
(2)若


OA


OB
,求直线l的方程.
答案
(1)∵椭圆
x2
2
+y2=1

a=


2
,b=1,c=1

∴F1(-1,0),…(1分)
设A(x1,y1),则


AO


AF1
=
x21
+x1+
y21
…(3分)
x12
2
+y12=1



AO


AF1
=
x21
+x1+
y21
=
1
2
x21
+x1+1=
1
2
(x1+1)2+
1
2
…(5分)
x1∈[-


2


2
]



AO


AF1
∈[
1
2


2
+2]
,…(6分)
(2)设A、B两点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2
①当l平行于y轴时,点A(-1,


2
2
)
B(-1,-


2
2
)
,此时


OA


OB
=
1
2
≠0
…(8分)
②当l不平行于y轴时,设直线l的斜率为k,则直线l方程为y=k(x+1),





y=k(x+1)
x2
2
+y2=1
得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0…(9分)
x1+x2=-
4k2
1+2k2
x1x2=
2k2-2
1+2k2
…(11分)


OA


OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2

=(1+k2)•
2k2-2
1+2k2
-k2
4k2
1+2k2
+k2=0

解得k2=2,
k=±


2
…(13分)
故所求的直线方程为y=±


2
(x+1)
…(14分)
举一反三
已知两定点E(-


2
,0),F(


2
,0)
,动点P满足


PE


PF
=0
,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足


PM
=(


2
-1)


MQ
,点M的轨迹为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-
3
4

(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r20<r<
3
2
)相切于点E、F,又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=它(a>b>0)的短轴长为2,离心率为


2
2

(它)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H,设m为椭圆C上一点,且满足


OG
+


OH
=t


Om
(O为坐标原点),当|


mG
-


mH
|<
2


5
3
时,求实数t的取值范围?
题型:不详难度:| 查看答案
椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),点A为左顶点,点B为上顶点,直线AB的斜率为


3
2
,又直线y=k(x-1)经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M,N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)将|MN|表示为k的函数;
(Ⅲ)线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P,又点Q(1,0),求证:
|PQ|
|MN|
为定值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x2+b.
(Ⅰ)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求
|PQ|
|QB|
的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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