已知椭圆C：x2a2+y2b2=它（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．（它）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G

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已知椭圆C：x2a2+y2b2=它（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22．（它）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G

题型：不详难度：来源：
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=它（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为


2
2
．
（它）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设m为椭圆C上一点，且满足


OG
+


OH
=t


Om
（O为坐标原点），当|


mG
-


mH
|＜
2


5
3
时，求实数t的取值范围？
答案
（3）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=3（a＞b＞r）的短轴长为2，离心率为


2
2
，
∴b=3，
c
a
=


2
2
，
∵a2=b2+c2，
∴a=


2
，b=3，
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=3…（3分）
（2）设G（x3，y3），H（x2，y2），
设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（3+2k2）x2-8kx+8k2-2=r
△=（-8k）2-q（3+2k2）（8k2-2）＞r，得k2＜
3
2
，…（5分）
条件|


PG
-


PH
|＜
2


5
3
转换一下就是|


GH
|＜
2


5
3
，
∵x3+x2=
8k
3+2k2
，x3x2=
8k2-2
3+2k2

根据弦长公式，


3+k2
•


(
8k
3+2k2
)2-q•
8k2-2
3+2k2
＜
2


5
3
，得到k2＞
3
q
．…（3分）
设P（x，y），则
∵


OG
+


OH
=t


OP
，
∴（x3+x2，y3+y2）=t（x，y），
∴x=
3
t
（x3+x2），y=
3
t
（y3+y2）
根据x3+x2=
8k
3+2k2
，x3x2=
8k2-2
3+2k2
，把x3，x2消成k，得P(
8k2
t(3+2k2)
，
-qk
t(3+2k2)
)（9分）
然后代入椭圆，得到关系式t2=
3qk2
3+2k2
，…（33分）
∴t2=
3q
3
k2
+2
，
∵
3
q
＜k2＜
3
2
，
∴实数t的取值范围为(-2，-
2


q
3
)∪(
2


q
3
，2)…（33分）
举一反三
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的斜率为


3
2
，又直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；
（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：
|PQ|
|MN|
为定值．
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如图，设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）长轴的右端点为A，短轴端点分别为B、C，另有抛物线y=x2+b．
（Ⅰ）若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范围．
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已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，过椭圆G右焦点F的直线m：x=1与椭圆G交于点M（点M在第一象限）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）已知A为椭圆G的左顶点，平行于AM的直线l与椭圆相交于B，C两点．判断直线MB，MC是否关于直线m对称，并说明理由．
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如图，A1、A2、F1、F2分别是双曲线C：
x2
9
-
y2
16
=1的左、右顶点和左、右焦点，M（x0、y0）是双曲线C上任意一点，直线MA2与动直线l：x=
9
x0
相交于点N．
（1）求点N的轨迹E的方程；
（2）点B为曲线E上第一象限内的一点，连接F1B交曲线E于另一点D，记四边形A1A2BD对角线的交点为G，证明：点G在定直线上．
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如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的四个顶点为A1，A2，B1，B2，两焦点为F1，F2，若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2，切点分别为A，B，C，D，则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=（　　）
A．


5
+1
2
B．2


5
-2		C．


5
+2
2
D．


5
-1
2

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