如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点为A1,A2,B1,B2,两焦点为F1,F2,若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2,切点分别

如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点为A1,A2,B1,B2,两焦点为F1,F2,若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2,切点分别

题型:不详难度:来源:
如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的四个顶点为A1,A2,B1,B2,两焦点为F1,F2,若以F1F2为直径的圆内切于菱形A1B1A2B2,切点分别为A,B,C,D,则菱形A1B1A2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=(  )
A.


5
+1
2
B.2


5
-2
C.


5
+2
2
D.


5
-1
2

答案
菱形A1B1A2B2的面积S1=2ab,
设矩形ABCD,BC=2m,BA=2n,∴
m
n
=
a
b

∵m2+n2=c2,∴m=
ac


a2+b2
,n=
bc


a2+b2

∴面积S2=4mn=4•
abc2
a2+b2

S1
S2
=
a2+b2
2c2

c
a
=
b


a2+b2
,b2=a2-c2
∴a4-a2c2+c4=0
∴a4-3a2c2+c4=0
a2
c2
=
3+


5
2
b2
c2
=
1+


5
2

S1
S2
=
a2+b2
2c2
=


5
+2
4

故选C.
举一反三
已知双曲线的左右焦点F1,F2的坐标为(-4,0)与(4,0),离心率e=2.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知椭圆
x2
36
+
y2
20
=1
,点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点,求|PF1|•|PF2|的值.
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在平面直角坐标系xoy中,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,圆Q过O点与F点,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
3
2

(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积;
(3)已知抛物线上一点M(4,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断:直线DE是否过定点?说明理由.
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已知点A(1,0),抛物线x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线相交点M,与其准线交于N,则|FM|:|MN|=______.
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已知抛物线C的方程为:y2=4x,直线l过(-2,1)且斜率为k≥0,当k为何值时,直线l与抛物线C(1)只有一个公共点,(2)有两个公共点.
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已知点P在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,满足|PF1|=6-|PF2|,且椭圆C的离心率为


5
3

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若过点Q(1,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N,在x轴上是否存在定点G,使得


GM


GN
为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点G的坐标;若不存在,说明理由.
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