(Ⅰ)因为|PF1|=6-|PF2|,所以2a=6,即a=3 又=,所以c=,b2=a2-c2=4 所以椭圆C的方程为+=1. (Ⅱ)假设存在符合条件的点G(t,0),因l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=k(x-1), 与椭圆C:+=1联立并消去y得:(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0 ∵点Q(1,0)在椭圆内部,∴直线l必与椭圆有两个不同交点. 设点M(x1,y1)、N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.=(x1-t,y1),=(x2-t,y2)
| •=(x1-t)(x2-t)+y1y2 | ,=x1x2-(x1+x2)t+t2+k2(x1-1)(x2-1) | ,=(1+k2)x1x2-(x1+x2)(t+k2)+t2+k2 |
| |
=(1+k2)-(t+k2)+t2+k2.(﹡) 解法一:设•=s,则(1+k2)-(t+k2)+t2+k2=s, 整理得:(9t2-18t-9s-23)k2+4t2-4s-36=0,此式对任意k∈R恒成立; 所以 | 9t2-18t-9s-23=0 | 4t2-4s-36=0 |
| | ,解得. ∴存在这样的定点G(,0)满足题意. 解法二:由(﹡)式得:
| •=(1+k2)(9k2-36)-18k2(t+k2)+k2(9k2+4) | 9k2+4 | +t2 | =+t2=-3(9k2+4)-24-18tk2+4k2 | 9k2+4 | +t2 |
| |
=+t2-3=+t2-3 =+t2-3+=+t2-2t-. 若•为定值,则+t2-2t-对任意k∈R恒为常数, 所以必有8t-=0,即t=. 从而•=t2-2t-=. 所以存在这样的定点G(,0)满足题意.
|