已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+3b)⊥(a-3b).(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程,且画出轨迹C的草图;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0
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已知a=(x,0),b=(1,y),且(a+3b)⊥(a-3b).(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程,且画出轨迹C的草图;(2)若直线l:y=kx+m(k≠0
题型:不详
难度:
来源:
已知
a
=(x,0)
,
b
=(1,y)
,且
(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)
.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程,且画出轨迹C的草图;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与上述曲线C交于不同的两点A、B,求实数k和m所满足的条件;
(3)在(2)的条件下,若另有定点D(0,-1),使|AD|=|BD|,试求实数m的取值范围.
答案
(1)
(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)
⇒
(
a
+
3
b
)•(
a
-
3
b
)=0
⇒
a
2
=3
b
2
⇒x
2
=3(y
2
+1)
∴P(x,y)的轨迹C的方程为
x
2
3
-
y
2
=1
其草图如右.(注:不画渐近线,不得分)
(2)
y=kx+m
x
2
-3
y
2
-3=0
⇒(1-3
k
2
)
x
2
-6kmx-3
m
2
-3=0
1-3
k
2
≠0
△>0
⇒
3
k
2
≠1(k≠0)
3
k
2
<
m
2
+1
(*)
(3)设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),A、B中点为H(x
0
,y
0
),
则
x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
3km
1-3
k
2
,
y
0
=k
x
0
+m=
m
1-3
k
2
,
由题意,有AB⊥DH⇒k
AB
•k
DH
=-1
⇒
k•
m
1-3
k
2
+1
3km
1-3
k
2
=-1
⇒3k
2
=4m+1,
代入(*),得
4m+1≠1
4m+1>0
4m+1<
m
2
+1
⇒
-
1
4
<m<0
或m>4.
举一反三
已知点A(0,1)、B(0,-1),P是一个动点,且直线PA、PB的斜率之积为
-
1
2
.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设Q(2,0),过点(-1,0)的直线l交C于M、N两点,若对满足条件的任意直线l,不等式
QM
•
QN
≤λ
恒成立,求λ的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知a是实数,直线2x-y+5=0与直线x-y+a+4=0的交点不在椭圆x
2
+2y
2
=11上,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=4x的焦点作倾斜角为
π
3
的直线与抛物线交于点A、B,则|AB|=______.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z满足|z-2|=1,复数z所对应的点的轨迹是C,若虚数满足
u+
1
u
∈R
,求|u|的值,并判断虚数u所对应的点与C的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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若点P(2,-1)平分椭圆
x
2
12
+
y
2
8
=1
的一条弦,则该弦所在的直线方程为______.(结果写成一般式)
题型:不详
难度:
|
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