已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)
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已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).(Ⅰ)求椭圆G的方程;(Ⅱ)
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
答案
(Ⅰ)∵椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,
过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限),
∴c=1,(1分)
c
a
=
1
2
,解得a=2,(2分)
∴b
2
=a
2
-c
2
=3,(3分)
∴椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
.(4分)
(Ⅱ)∵A为椭圆G的左顶点,∴
A(-2,0),M(1,
3
2
)
,(6分)
∴由题意可设直线
l:y=
1
2
x+n
,n≠1.(7分)
设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),
由
x
2
4
+
y
2
3
=1
y=
1
2
x+n
,得x
2
+nx+n
2
-3=0.
由题意得△=n
2
-4(n
2
-3)=12-3n
2
>0,
即n∈(-2,2)且n≠1.(8分)
x
1
+
x
2
=-n,
x
1
x
2
=
n
2
-3
.(9分)
∵
k
MB
+
k
MC
=
y
1
-
3
2
x
1
-1
+
y
2
-
3
2
x
2
-1
,(10分)
=
1
2
x
1
+n-
3
2
x
1
-1
+
1
2
x
2
+n-
3
2
x
2
-1
=1+
n-1
x
1
-1
+
n-1
x
2
-1
=1+
(n-1)(
x
1
+
x
2
-2)
x
1
x
2
-(
x
1
+
x
2
)+1
=
1-
(n-1)(n+2)
n
2
+n-2
=0
,(13分)
所以直线MB,MC关于直线m对称.(14分)
举一反三
如图,A
1
、A
2
、F
1
、F
2
分别是双曲线C:
x
2
9
-
y
2
16
=1的左、右顶点和左、右焦点,M(x
0
、y
0
)是双曲线C上任意一点,直线MA
2
与动直线l:x=
9
x
0
相交于点N.
(1)求点N的轨迹E的方程;
(2)点B为曲线E上第一象限内的一点,连接F
1
B交曲线E于另一点D,记四边形A
1
A
2
BD对角线的交点为G,证明:点G在定直线上.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的四个顶点为A
1
,A
2
,B
1
,B
2
,两焦点为F
1
,F
2
,若以F
1
F
2
为直径的圆内切于菱形A
1
B
1
A
2
B
2
,切点分别为A,B,C,D,则菱形A
1
B
1
A
2
B
2
的面积S
1
与矩形ABCD的面积S
2
的比值
S
1
S
2
=( )
A.
5
+1
2
B.
2
5
-2
C.
5
+2
2
D.
5
-1
2
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的左右焦点F
1
,F
2
的坐标为(-4,0)与(4,0),离心率e=2.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知椭圆
x
2
36
+
y
2
20
=1
,点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点,求|PF
1
|•|PF
2
|的值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xoy中,F是抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点,圆Q过O点与F点,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
3
2
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积;
(3)已知抛物线上一点M(4,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断:直线DE是否过定点?说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知点A(1,0),抛物线x
2
=4y的焦点为F,射线FA与抛物线相交点M,与其准线交于N,则|FM|:|MN|=______.
题型:不详
难度:
|
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