如图,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x2+b.(Ⅰ)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形
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如图,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x2+b.(Ⅰ)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形
题型:不详
难度:
来源:
如图,设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)长轴的右端点为A,短轴端点分别为B、C,另有抛物线y=x
2
+b.
(Ⅰ)若抛物线上存在点D,使四边形ABCD为菱形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)若a=2,过点B作抛物线的切线,切点为P,直线PB与椭圆相交于另一点Q,求
|PQ|
|QB|
的取值范围.
答案
(Ⅰ)由四边形ABCD是菱形,得D(a,a
2
+b),
且
a
2
+b=2b
a
2
+
b
2
=2b
,解得
a=
3
3
,
b=
1
3
,
所以椭圆方程为3x
2
+9y
2
=1.
(Ⅱ)不妨设P(t,t
2
+b)(t≠0),
因为y"|
x=t
=2x|
x=t
=2t,
所以PQ的方程为y=2t(x-t)+t
2
+b,即y=2tx-t
2
+b.
又因为直线PQ过点B,所以-t
2
+b=-b,即
b=
t
2
2
.
所以PQ的方程为
y=2tx-
t
2
2
.
联立方程组
y=2tx-
t
2
2
x
2
4
+
4
y
2
t
4
=1
,消去y,得(t
2
+64)x
2
-32tx=0.
所以点Q的横坐标为
x
Q
=
32t
t
2
+64
,
所以
|PQ|
|QB|
=
x
P
-
x
Q
x
Q
-
x
B
2
=
t
2
32
+1
.
又t
2
=2b∈(0,4),所以
|PQ|
|QB|
的取值范围为
(1,
9
8
)
.
举一反三
已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆相交于B,C两点.判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,A
1
、A
2
、F
1
、F
2
分别是双曲线C:
x
2
9
-
y
2
16
=1的左、右顶点和左、右焦点,M(x
0
、y
0
)是双曲线C上任意一点,直线MA
2
与动直线l:x=
9
x
0
相交于点N.
(1)求点N的轨迹E的方程;
(2)点B为曲线E上第一象限内的一点,连接F
1
B交曲线E于另一点D,记四边形A
1
A
2
BD对角线的交点为G,证明:点G在定直线上.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的四个顶点为A
1
,A
2
,B
1
,B
2
,两焦点为F
1
,F
2
,若以F
1
F
2
为直径的圆内切于菱形A
1
B
1
A
2
B
2
,切点分别为A,B,C,D,则菱形A
1
B
1
A
2
B
2
的面积S
1
与矩形ABCD的面积S
2
的比值
S
1
S
2
=( )
A.
5
+1
2
B.
2
5
-2
C.
5
+2
2
D.
5
-1
2
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的左右焦点F
1
,F
2
的坐标为(-4,0)与(4,0),离心率e=2.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知椭圆
x
2
36
+
y
2
20
=1
,点P是双曲线与椭圆两曲线在第一象限的交点,求|PF
1
|•|PF
2
|的值.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系xoy中,F是抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点,圆Q过O点与F点,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为
3
2
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过F作倾斜角为60°的直线L,交曲线C于A,B两点,求△OAB的面积;
(3)已知抛物线上一点M(4,4),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断:直线DE是否过定点?说明理由.
题型:不详
难度:
|
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