在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点。(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,
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在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点。(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,
题型:天津中考真题
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在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点。
(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标。
答案
解:(Ⅰ)如图,作点D关于x轴的对称点D′,
连接CD′与x轴交于点E,
连接DE,若在边OA上任取点E′(与点E不重合),连接CE′、DE′、D′E′,
由
,可知△的周长最小,
∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,
∴
∵OE∥BC,
∴Rt△
∽Rt△
,
有
,
∴
,
∴点的坐标为(1,0);
(Ⅱ)如图,作点D关于x轴的对称点D′,在CB边上截取CG=2,连接D′G与x轴交于点E,在EA上截取EF=2,
∵GC∥EF,
,
∴四边形GEFC为平行四边形,有
,
又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小,
∵OE∥BC,
∴
,
有
,
∴
,
∴
,
∴点E的坐标为(
,0),点的坐标为(
,0)。
举一反三
如图,边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点E是OA边上的点(不与点A重合),EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点P。
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,那么
=
[ ]
A.
B.
C.
D.
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( )。
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