已知点F( 1,0),⊙F与直线4x+3y+1=0相切,动圆M与⊙F及y轴都相切.(I )求点M的轨迹C的方程;(II)过点F任作直线l,交曲线C于A,B两点,
题型:乌鲁木齐一模难度:来源:
已知点F( 1,0),⊙F与直线4x+3y+1=0相切,动圆M与⊙F及y轴都相切. (I )求点M的轨迹C的方程; (II)过点F任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向⊙F各引一条切线,切点 分别为P,Q,记α=∠PAF,β=∠QBF.求证sinα+sinβ是定值. |
答案
(Ⅰ)⊙F的半径r=1,∴⊙F的方程为(x-1)2+y2=1, 由题意动圆M与⊙F及y轴都相切,分以下情况: (1)动圆M与⊙F及y轴都相切,但切点不是原点的情况: 作MH⊥y轴于H,则|MF|-1=|MH|,即|MF|=|MH|+1, 过M作直线x=-1的垂线MN,N为垂足, 则|MF|=|MN|, ∴点M的轨迹是以F为焦点,x=-1为准线的抛物线, ∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0); (2)动圆M与⊙F及y轴都相切且仅切于原点的情况: 此时点M的轨迹C的方程为y=0(x≠0,1); (Ⅱ)对于(Ⅰ)中(1)的情况: 当l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2k2+4,x1x2=1, ∴sinα+sinβ=+=+==1. 当l与x轴垂直时,也可得sinα+sinβ=1, 对于(Ⅰ)中(2)的情况不符合题意(即作直线l,交C于一个点或无数个点,而非两个交点). 综上,有sinα+sinβ=1. |
举一反三
若实数x,y满足2x2+y2=3x,则曲线2x2+y2=3x上的点(x,y)到原点距离的最大值为______,最小值为______. |
已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且椭圆经过圆C:x2+y2-2x-2y=0的圆心C. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ) 设Q是椭圆E上的一点,过点Q的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点M,若||=2||,求直线l的斜率. |
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,若N为l上一点,当△MNF为等腰三角形,NF=2时,则p=______. |
已知曲线C上任意一点M到点F(1,0)的距离比它到直线x=-2的距离小1. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)直线l:y=-x+b与曲线C相交于A,B两点,P(1,2),设直线PA、PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值. |
已知椭圆C:x2+=1,过点M(0,1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B. (Ⅰ)若l与x轴相交于点P,且P为AM的中点,求直线l的方程; (Ⅱ)设点N(0,),求|+|的最大值. |
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