已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=23,椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12,点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点,点F是椭圆的右

已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e=23,椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12,点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点,点F是椭圆的右

题型:不详难度:来源:
已知椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
2
3
,椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12,点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.
(1)求椭圆G的方程;
(2)求点P的坐标;
(3)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
答案
(1)∵椭圆G上的点M到两焦点的距离之和为12,
∴2a=12,a=6…(1分)
∵e=
c
a
=
2
3
,∴c=4…(2分)
b=


a2-c2
=


36-16
=2


5
…(3分)
∴椭圆G的方程为
x2
36
+
y2
20
=1
…(5分)
(2)由(1)可得点A(-6,0),B(6,0),F(0,4)…(6分)
设点P(x,y),则


AP
=(x+6,y),


FP
=(x-4,y),由已知可得





x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0

则 2x2+9x-18=0,x=
3
2
或x=-6.由于y>0,只能x=
3
2
,于是y=
5


3
2
         …(8分)
∴点P的坐标是(
3
2
5


3
2
)                                             …(9分)
(3)直线AP的方程是
y
5


3
2
=
x+6
3
2
+6
,即x-


3
y+6=0                                     …(10分)
设点M的坐标为(m,0),则M到直线AP的距离是
|m+6|
2

|m+6|
2
=|m-6|,又-6≤m≤6,解得m=2.
∴M点的坐标为(2,0)…(12分)
设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,则d=


(x-2)2+y2
=


(x-2)2+20-
5
9
x2

∴d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-
5
9
x2=
4
9
(x-
9
2
2+15,…(13分)
∵-6≤x≤6,
∴当x=
9
2
时,d取得最小值


15
.…(14分)
举一反三
已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A,B两点,则|AB|=______.
题型:不详难度:| 查看答案
F是抛物线y2=2x的焦点,A、B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到y轴的距离为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设双曲线C1的渐近线为y=±


3
x
,焦点在x轴上且实轴长为1.若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于2


2
,并且曲线C3:x2=2py(p>0是常数)的焦点F在曲线C2上.
(1)求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程;
(2)过点F的直线l交曲线C3于点A、B(A在y轴左侧),若


AF
=
1
3


FB
,求直线l的倾斜角.
题型:广州一模难度:| 查看答案
一条渐近线方程是x+


3
y=0
的双曲线,它的一个焦点与方程是y2=16x的抛物线的焦点相同,此双曲线的标准方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.