已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线方程.
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已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围. (2)求被椭圆截得的最长弦所在直线方程. |
答案
(1)由得5x2+2mx+m2-1=0, 当直线与椭圆有公共点时,△=4m2-4×5(m2-1)≥0,即-4m2+5≥0, 解得-≤m≤, 所以实数m的取值范围是-≤m≤; (2)设所截弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知,x1+x2=-,x1x2=, 所以弦长|AB|=|x1-x2|=•=•=, 当m=0时|AB|最大,此时所求直线方程为y=x. |
举一反三
直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A,B两点,则|AB|=______. |
F是抛物线y2=2x的焦点,A、B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到y轴的距离为______. |
设双曲线C1的渐近线为y=±x,焦点在x轴上且实轴长为1.若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和等于2,并且曲线C3:x2=2py(p>0是常数)的焦点F在曲线C2上. (1)求满足条件的曲线C2和曲线C3的方程; (2)过点F的直线l交曲线C3于点A、B(A在y轴左侧),若=,求直线l的倾斜角. |
一条渐近线方程是x+y=0的双曲线,它的一个焦点与方程是y2=16x的抛物线的焦点相同,此双曲线的标准方程是______. |
若椭圆+y2=1(a>0)与双曲线-y2=1有相同的焦点,则a=______. |
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