已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1),且过点A(2,t),(I)求t的值;(II)若点P、Q是抛物线C上两动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直
题型:温州一模难度:来源:
已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1),且过点A(2,t), (I)求t的值; (II)若点P、Q是抛物线C上两动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值;若不是,请说明理由. |
答案
(I)依照条件可知:抛物线过原点,且焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py 由条件焦点为F(0,1),得抛物线方程为x2=4y …(3分) ∴把点A代入x2=4y,得t=1 …(6分) (II)当KAP和KAQ不存在时,P或Q其中一点与A重合,一点与A平行于X轴,其中一个斜率为0,一个为无穷大,不符合题意. 设直线AP的斜率为k,AQ的斜率为-k, 则直线AP的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-(2k-1) 联立方程: 消去y,得:x2-4kx+4(2k-1)=0 …(9分) ∵xAxP=4(2k-1),A(2,1) ∴xP=4k-2 ∴yP=4k2-4k+1 同理,得xQ=-4k-2,yQ=4k2+4k+1…(12分) ∴kPQ= =-1是一个与k无关的定值.…(15分) |
举一反三
若一动点P到两定点A(0,)、B(0,-)的距离之和为4. ( I)求动点P的轨迹方程; ( II)设动点P的轨迹为曲线C,在曲线C任取一点Q,过点Q作x轴的垂线段QD,D为垂足,当Q在曲线C上运动时,求线段QD的中点M的轨迹方程. |
设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. (1)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程; (2)求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程. |
直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点,则k的取值是( ) |
直线x+2y-2=0经过椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率等于______. |
已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,且与椭圆+=1有相同的焦点,则其焦点坐标为______,双曲线的方程是______. |
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