过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若AF=4FB，则斜率k的值为（　　）A．1B．2C．23D．43

题型：成都三模难度：来源：

过抛物线y²=4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若

，则斜率k的值为（　　）

A．1

B．2

C．

D．

答案

∵抛物线 C：y²=4x焦点F（1，0），准线x=-1，则直线AB的方程为y=k（x-1）
联立方程

y=k(x-1)

y2=4x

可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2(2+k2)

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

•k=

①
∴

=(1-x1，-y1)，

=(x2-1，y2)
∵

，
∴

1-x1=4(x2-1)

y1=-4y2

即

x1=-4x2+5

y1=-4y2

②
①②联立可得，x2=

3k2-4

3k2

，y2=-

3k2

•k=-

，代入抛物线方程y²=4x可得

9k2

3k2-4

3k2

×4
∴9k²=16
∵k＞0
∴k=

故选D

举一反三

若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x₀，y₀），则称直线l：ax₀x+by₀y=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x₀，y₀）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x₀，y₀）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x₀，y₀）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设

=λ1

，

=λ2

，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．

题型：不详难度：| 查看答案

问题：过点M（2，1）作一斜率为1的直线交抛物线y²=2px（p＞0）于不同的两点A，B，且点M为AB的中点，求p的值．请阅读某同学的问题解答过程：
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，两式相减，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，y₁+y₂=2，因此p=1．
并给出当点M的坐标改为（2，m）（m＞0）时，你认为正确的结论：______．

题型：浦东新区二模难度：| 查看答案

已知双曲线x²-2y²=2的左、右两个焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（

，0），过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，若DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．

题型：泰安一模难度：| 查看答案

已知点M(

，0)，椭圆

+y2=1与直线y=k(x+

)交于点A、B，则△ABM的周长为（　　）

A．4

B．8

C．12

D．16

题型：不详难度：| 查看答案

直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（4，0），动点M（x，y）满足

•

=x²．
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值．

题型：台州二模难度：| 查看答案

过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，若AF=4FB，则斜率k的值为（ ）A．1B．2C．23D．43