已知P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，-1），若点M在直线PA上，同时满足：①点M在点P的下方； ②|PM|-2|MA|=0．则点M的轨迹方程是__

题型：不详难度：来源：

已知P是抛物线y=2x²+1上的动点，定点A（0，-1），若点M在直线PA上，同时满足：①点M在点P的下方； ②|

|-2|

|=0．则点M的轨迹方程是______．

答案

由题意，设P（x₀，y₀），M（x，y），
∵点M在点P的下方，|

|-2|

|=0．
当点M在PA之间，则x=

，y=

y0-1

∴x₀=3x，y₀=3y+1
∵P是抛物线y=2x²+1上的动点，∴y₀=2x₀²+1，
∴y=6x²
当点M在PA延长线时，A为PM的中点，∴x₀=-x，y₀=-2-y
∵P是抛物线y=2x²+1上的动点，∴y₀=2x₀²+1，
∴y=-2x²-3
故答案为y=6x²或y=-2x²-3

举一反三

已知动点P（p，-1），Q（p，1+

），过Q作斜率为

的直线l，P Q中点M的轨迹为曲线C．
（1）证明：l经过一个定点而且与曲线C一定有两个公共点；
（2）若（1）中的其中一个公共点为A，证明：AP是曲线C的切线．

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已知椭圆C的中心为原点，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，且当直线l垂直于x轴时，OA•OB=

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得在椭圆C的右准线上可以找到一点P，满足△ABP为正三角形．如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

题型：深圳二模难度：| 查看答案

已知如图，直线l：x=-

（p＞0），点F(

，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

•

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称，求实数k满足的条件（写出关系式即可）；
（3）设动点M （a，0），过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，线段AB的中垂线与x轴交于点N，当|AB|≤2p时，求△NAB面积的最大值．

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设双曲线M：

-y2=1，过点C（0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于点A、B．若

，则双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

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设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a2＞

3k2

1+3k2

；
（Ⅱ）若

，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

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