(Ⅰ)设椭圆C的方程为:+=1(a>b>0),则a2-b2=1.① ∵当l垂直于x轴时,A,B两点坐标分别是(1,)和(1,-), ∴•=(1,)•(1,-)=1-,则1-=,即a2=6b4.② 由①,②消去a,得6b4-b2-1=0.∴b2=或b2=-. 当b2=时,a2=.因此,椭圆C的方程为+2y2=1. (Ⅱ)设存在满足条件的直线l. (1)当直线l垂直于x轴时,由(Ⅰ)的解答可知|AB|==,焦点F到右准线的距离为d=-c=, 此时不满足d=|AB|. 因此,当直线l垂直于x轴时不满足条件. (2)当直线l不垂直于x轴时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1). 由⇒(6k2+2)x2-12k2x+6k2-3=0, 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. |AB|=|x1-x2|===-. 又设AB的中点为M,则xM==. 当△ABP为正三角形时,直线MP的斜率为kMP=-. ∵xp=,∴|MP|=|xp-xM|=•(-)=•.
当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|,即•=•, 解得k2=1,k=±1. 因此,满足条件的直线l存在,且直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. |