已知双曲线3x2-y2=3，过点P（2，1）作直线l交双曲线于A，B两点．（1）求弦AB中点M的轨迹．（2）若P恰为AB中点，求l的方程．

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已知双曲线3x²-y²=3，过点P（2，1）作直线l交双曲线于A，B两点．
（1）求弦AB中点M的轨迹．
（2）若P恰为AB中点，求l的方程．

答案

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
两式相减得3x（x₁-x₂）-y（y₁-y₂）=0，
∴

y-1

x-2

，即3x²-y²-6x+y=0，轨迹为双曲线；
（2）由（1）知3x₁²-y₁²=3，3x₂²-y₂²=3，
两式相减得6（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，从而直线的斜率为6，
故所求直线方程为6x-y-11=0

举一反三

在以坐标轴为对称轴的椭圆上，O为坐标原点，A为右顶点，F为右焦点，过F作MN∥y轴，交椭圆于M，N两点，若|MN|=3，椭圆的离心率是方程2x²-5x+2=0的根．
（1）求椭圆的方程；
（2）若此椭圆的长轴不变，当以OA为斜边的直角三角形的直角顶点P落在椭圆上时，求椭圆短半轴长b的取值范围．

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设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆

+y²=1上，p=

2ab

，
求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上
（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=

2ab

，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

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过点P（-3，1）且方向向量为

=(2，-5)的光线经直线y=-2反射后通过抛物线y²=mx，（m≠0）的焦点，则抛物线的方程为（　　）

A．y²=-2x

B．y2=-

C．y²=4x

D．y²=-4x

题型：河南模拟难度：| 查看答案

已知抛物线方程为y²=4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

题型：江西模拟难度：| 查看答案

若直线y=kx+2与抛物线y²=4x仅有一个公共点，则实数k=______．

题型：静安区一模难度：| 查看答案