设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x2=2py(p≠0)的异于原点的交点(1)若a=1
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设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x2=2py(p≠0)的异于原点的交点(1)若a=1
题型:上海
难度:
来源:
设P(a,b)(b≠0)是平面直角坐标系xOy中的点,l是经过原点与点(1,b)的直线,记Q是直线l与抛物线x
2
=2py(p≠0)的异于原点的交点
(1)若a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标
(2)若点P(a,b)(ab≠0)在椭圆
x
2
4
+y
2
=1上,p=
1
2ab
,
求证:点Q落在双曲线4x
2
-4y
2
=1上
(3)若动点P(a,b)满足ab≠0,p=
1
2ab
,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由.
答案
(1)当a=1,b=2,p=2时,
解方程组
x
2
=4y
y=2x
得
x=8
y=16
即点Q的坐标为(8,16)(3分)
(2)证明:由方程组
x
2
=
1
ab
y
y=bx
得
x=
1
a
y=
b
a
即点Q的坐标为
(
1
a
,
b
a
)
(5分)
∵P时椭圆上的点,即
a
2
4
+
b
2
=1
∴
4(
1
a
)
2
-4(
b
a
)
2
=
4
a
2
(1-
b
2
)=1
,
因此点Q落在双曲线4x
2
-4y
2
=1上(8分)
(3)设Q所在的抛物线方程为y
2
=2q(x-c),q≠0(10分)
将
Q(
1
a
,
b
a
)
代入方程,得
b
2
a
2
=2q(
1
a
-c)
,即b
2
=2qa-2qca
2
(12分)
当c=0时,b
2
=2qa,此时点P的轨迹落在抛物线上;
当qc=
1
2
时,
(a-
1
2c
)
2
+
b
2
=
1
4
c
2
,此时点P的轨迹落在圆上;
当qc>0且qc≠
1
2
时,
(a-
1
2c
)
2
1
4
c
2
+
b
2
q
2c
=1,此时点P的轨迹落在椭圆上;
当qc<0时
(a-
1
2c
)
2
1
4
c
2
-
b
2
(-
q
2c
)
=1,此时点P的轨迹落在双曲线上;(16分)
举一反三
过点P(-3,1)且方向向量为
a
=(2,-5)
的光线经直线y=-2反射后通过抛物线y
2
=mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( )
A.y
2
=-2x
B.
y
2
=-
3
2
x
C.y
2
=4x
D.y
2
=-4x
题型:河南模拟
难度:
|
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已知抛物线方程为y
2
=4x,过Q(2,0)作直线l.
①若l与x轴不垂直,交抛物线于A、B两点,是否存在x轴上一定点E(m,0),使得∠AEQ=∠BEQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由?
②若L与X轴垂直,抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点,则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值,试证之.
题型:江西模拟
难度:
|
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若直线y=kx+2与抛物线y
2
=4x仅有一个公共点,则实数k=______.
题型:静安区一模
难度:
|
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给定四条曲线:①
x
2
+
y
2
=
5
2
,②
x
2
9
+
y
2
4
=1
,③
x
2
+
y
2
4
=1
,④
x
2
4
+
y
2
=1
,其中与直线
x+y-
5
=0
仅有一个交点的曲线是( )
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
题型:北京
难度:
|
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已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线C:x
2
=2py(p>0)相交于B、C两点.当l的斜率是
1
2
时,
AC
=4
AB
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
题型:宁德模拟
难度:
|
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