已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当l的斜率是12时,AC=4AB.(1)求抛物线C的方程;(2)设BC的中垂
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已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于B、C两点.当l的斜率是12时,AC=4AB.(1)求抛物线C的方程;(2)设BC的中垂
题型:宁德模拟
难度:
来源:
已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线C:x
2
=2py(p>0)相交于B、C两点.当l的斜率是
1
2
时,
AC
=4
AB
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
答案
(1)设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),由已知k
1
=
1
2
时,l方程为y=
1
2
(x+4)即x=2y-4.
由
x
2
=2py
x=2y-4
得2y
2
-(8+p)y+8=0
①②∴
y
1
y
2
=4
y
1
+
y
2
=
8+p
2
又∵
AC
=4
AB
,∴y
2
=4y
1
③
由①②③及p>0得:y
1
=1,y
2
=4,p=2,即抛物线方程为:x
2
=4y.
(2)设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x
0
,y
0
)
由
x
2
=4y
y=k(x+4)
得:x
2
-4kx-16k=0④
∴
x
0
=
x
A
+
x
B
2
=2k,
y
0
=k(
x
0
+4)=2
k
2
+4k
.
∴BC的中垂线方程为
y-2
k
2
-4k=-
1
k
(x-2k)
∴BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k
2
+4k+2=2(k+1)
2
对于方程④由△=16k
2
+64k>0得:k>0或k<-4.
∴b∈(2,+∞)
举一反三
已知直线l的参数方程为
x=2+tcosα
y=tsinα
,(t为参数,α为倾斜角,且
α≠
π
2
)与曲线
x
2
16
+
y
2
12
=1交于A,B两点.
(Ⅰ)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标;
(Ⅱ)求|PA
题型:PB|的最大值.
难度:
|
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已知双曲线
C:
x
2
-
y
2
4
=1
,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有______条.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
x
2
3
-
16
y
2
p
2
=1
(p>0)的左焦点在抛物线y
2
=2px的准线上,则该双曲线的离心率为( )
A.
4
3
B.
3
C.
2
3
3
D.4
题型:安徽模拟
难度:
|
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设抛物线C:y=x
2
,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
(1)求|FH|;
(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.
①设A,B,D三点的横坐标分别为x
1
,x
2
,x
3
,计算:x
1
•x
2
及x
1
•x
3
的值;
②若直线BF与抛物线交于点E,求证:D,E,H三点共线.
题型:不详
难度:
|
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已知实系数方程x
2
+(a+1)x+a+b+1=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则
b
a
的取值范围是( )
A.(-2,-1)
B.
(-1,-
1
2
)
C.
(-2,-
1
2
)
D.(-2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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