设抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H(1)求|FH|;(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.①设A,B,

设抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H(1)求|FH|;(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.①设A,B,

题型:不详难度:来源:
设抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
(1)求|FH|;
(2)过点H的直线与抛物线C交于A,B两点,直线AF与抛物线交于点D.
①设A,B,D三点的横坐标分别为x1,x2,x3,计算:x1•x2及x1•x3的值;
②若直线BF与抛物线交于点E,求证:D,E,H三点共线.
答案
(1)∵抛物线C:y=x2,F为焦点,l为准线,准线与y轴交点为H
∴|FH|=
1
2

(2)①设直线AB方程:y=kx-
1
4
,直线AD方程:y=kx+
1
4






y=x2
y=kx-
1
4
,可得x2-kx+
1
4
=0,∴x1•x2=
1
4






y=x2
y=kx+
1
4
,可得x2-kx-
1
4
=0,∴x1•x3=-
1
4

②设D(-
1
4x1
1
16x12
),E(-
1
4x2
1
16x22
),则kDE=
1
16x22
-
1
16x12
-
1
4x2
+
1
4x1
=-
1
4x2
-
1
4x1

kEH=
-
1
4
-
1
16x22
1
4x2
=-
1
4x2
-x2
=-
1
4x2
-
1
4x1

∴kDE=kEH
∴D,E,H三点共线.
举一反三
已知实系数方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率,则
b
a
的取值范围是(  )
A.(-2,-1)B.(-1,-
1
2
)
C.(-2,-
1
2
)
D.(-2,+∞)
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(不等式选讲选做题)已知2x2+3y2=6,则|x|+


3
y的最大值M=______.
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线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2-2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点,试求实数a的取值范围.
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在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与椭圆C:
x2
16
+
y2
4
=1相交于A、B两点,且OA+OB>AB.
(1)求m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆经过O点,求直线l的方程.
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过点P(-3,1)且方向为


m
=(2,-5)的光线经过直线y=-2反射后通过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的左焦点,则这个椭圆的焦距长等于
(  )
A.1B.
3
2
C.2D.4
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