在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与椭圆C:x216+y24=1相交于A、B两点,且OA+OB>AB.(1)求m的取值范围;(2)若以AB为直径的圆经
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在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与椭圆C:x216+y24=1相交于A、B两点,且OA+OB>AB.(1)求m的取值范围;(2)若以AB为直径的圆经
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=x+m与椭圆C:
x
2
16
+
y
2
4
=1相交于A、B两点,且OA+OB>AB.
(1)求m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆经过O点,求直线l的方程.
答案
(1)由方程组
x
2
16
+
y
2
4
=1
y=x+m
得:5x
2
+8mx+(4m
2
-16)=0,…(2分)
因为直线 l椭圆C有两个交点,所以△=(8m)
2
-4×5×(4m
2
-16)>0…(4分),
解得-
2
5
<m<
2
5
…(5分),
又因为OA+OB>AB,所以O∉l,m≠0,所以m的取值范围是(-
2
5
,0)∪(0,
2
5
)…(6分).
(2)设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),由(1)得x
1
+x
2
=-
8m
5
,x
1
•x
2
=
4
m
2
-16
5
,
以AB为直径的圆经过点,所以∠AOB=90°…(8分),
QA
•
OB
=x
1
•x
2
+y
1
•y
2
=0…(9分),
由y
1
=x
1
+m,y
2
=x
2
+m,…(10分),
得
QA
•
OB
=x
1
•x
2
+y
1
•y
2
=2x
1
•x
2
+m(x
1
+x
2
)+m
2
=
8m
2
-32
5
-
8
m
2
5
+m
2
=0…(12分),
解得m=±
4
10
5
…(13分),所以直线l的方程是:
y=x+
4
10
5
或y=x-
4
10
5
…(14分).
举一反三
过点P(-3,1)且方向为
m
=(2,-5)的光线经过直线y=-2反射后通过椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1的左焦点,则这个椭圆的焦距长等于
( )
A.1
B.
3
2
C.2
D.4
题型:不详
难度:
|
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过定点A(1,0)的动圆M与定圆B:(x+1)
2
+y
2
=8内切(圆心为B).
(1)求动圆圆心M的轨迹方程;
(2)设点N(0,1),是否存在直线l交M的轨迹于P,Q两点,使得△NPQ的垂心恰为点A.若存在,求出该直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:洛阳一模
难度:
|
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已知椭圆
x
2
m
+
y
2
n
=1
与双曲线
x
2
p
-
y
2
q
=1
(m,n,p,q∈R
+
)有共同的焦点F
1
,F
2
,P是两曲线的一个公共交点.则|PF
1
|•|PF
2
|的值是( )
A.p
2
-m
2
B.p-m
C.m-p
D.m
2
-p
2
题型:昌平区一模
难度:
|
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已知抛物线C
1
、椭圆C
2
和双曲线C
3
在x轴上有共同的焦点,且三条曲线都经过点M(1,2),C
1
的顶点为坐标原点,C
2
、C
3
的对称轴是坐标轴.
(1)求这三条曲线的方程
(2)已知动直线l过点P(3,0),交抛物线C
1
于A、B两点,问是否存在垂直于x轴的直线l′,被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出l′的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆方程为
y
2
2
+
x
2
=1
,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求m的取值范围;
(Ⅱ)求△MPQ面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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