已知椭圆方程为y22+x2=1,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(Ⅰ)求m的取

已知椭圆方程为y22+x2=1,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).(Ⅰ)求m的取

题型:不详难度:来源:
已知椭圆方程为
y2
2
+x2=1
,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求m的取值范围;
(Ⅱ)求△MPQ面积的最大值.
答案
(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+1,由





y=kx+1
y2
2
+x2=1
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=
-2k
k2+2
x1x2=-
1
k2+2

可得y1+y2=k(x1+x2)+2=
4
k2+2
.…(3分)
设线段PQ中点为N,则点N的坐标为(
-k
k2+2
2
k2+2
)

由题意有kMN•k=-1,可得
m-
2
k2+2
k
k2+2
•k=-1
.可得m=
k
k2+1

又k≠0,所以0<m<
1
2
.…(6分)
(Ⅱ)设椭圆上焦点为F,
S△MPQ=
1
2
•|FM|•|x1-x2|
=


2m(1-m)3
…(9分)
所以△MPQ的面积为


2


m(1-m)3
0<m<
1
2
).
设f(m)=m(1-m)3,则f"(m)=(1-m)2(1-4m)(0,
1
4
)

可知f(m)在区间(0,
1
4
)
单调递增,在区间(
1
4
1
2
)
单调递减.
所以,当(0,
1
4
)
时,f(m)=m(1-m)3有最大值f(
1
4
)=
27
256

所以,当时,△MPQ的面积有最大值
3


6
16
.…(12分)
举一反三
已知抛物线C:y=x2+mx+2与经过A(0,1),B(2,3)两点的线段AB有公共点,则m的取值范围是(  )
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[-1,3]
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在平面直角坐标系中,若


a
=(x,y+2),


b
=(x,y-2),且|


a
|+|


b
|=8.
(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设


OP
=


OA
+


OB
,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线l的方程,不存在,说明理由.
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在平面直角坐标系中,已知抛物线y2=2px(p>0),过定点A(p,0)作直线交该抛物线于M、N两点.
(I)求弦长|MN|的最小值;
(II)是否存在平行于y轴的直线l,使得l被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
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已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为T,且TF与x轴垂直,则椭圆的离心率为(  )
A.


2
-1
2
B.


2
-1
C.


3
-1
D.


3
-1
2
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的右焦点重合,直线l过点F交抛物线于A、B两点,点A、B在抛物线C的准线上的射影分别为点D、E.
(Ⅰ)求抛物线C的过程;
(Ⅱ)若直线l交y轴于点M,且


MA
=m


AF


MB
=n


BF
,对任意的直线l,m+n是否为定值?若是,求出m+n的值,否则,说明理由.
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