已知椭圆x2m+y2n=1与双曲线x2p-y2q=1(m,n,p,q∈R+)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共交点.则|PF1|•|PF2|的值是(
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已知椭圆x2m+y2n=1与双曲线x2p-y2q=1(m,n,p,q∈R+)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共交点.则|PF1|•|PF2|的值是(
题型:昌平区一模
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
m
+
y
2
n
=1
与双曲线
x
2
p
-
y
2
q
=1
(m,n,p,q∈R
+
)有共同的焦点F
1
,F
2
,P是两曲线的一个公共交点.则|PF
1
|•|PF
2
|的值是( )
A.p
2
-m
2
B.p-m
C.m-p
D.m
2
-p
2
答案
由椭圆和双曲线定义
不妨设|PF
1
|>|PF
2
|
则|PF
1
|+|PF
2
|=2
m
|PF
1
|-|PF
2
|=2
p
所以|PF
1
|=
m
+
p
|PF
2
|=
m
-
p
∴|pF
1
|•|pF
2
|=m-p
∵焦点相同
c
2
=m-n=p+q
∴m-p=n+q
所以|pF
1
|•|pF
2
|=m-p或n+q
故选C
举一反三
已知抛物线C
1
、椭圆C
2
和双曲线C
3
在x轴上有共同的焦点,且三条曲线都经过点M(1,2),C
1
的顶点为坐标原点,C
2
、C
3
的对称轴是坐标轴.
(1)求这三条曲线的方程
(2)已知动直线l过点P(3,0),交抛物线C
1
于A、B两点,问是否存在垂直于x轴的直线l′,被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出l′的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆方程为
y
2
2
+
x
2
=1
,斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求m的取值范围;
(Ⅱ)求△MPQ面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y=x
2
+mx+2与经过A(0,1),B(2,3)两点的线段AB有公共点,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]
D.[-1,3]
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,若
a
=(x,y+2),
b
=(x,y-2),且
|
a
|+|
b
|=8.
(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设
OP
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为矩形?若存在,求出直线l的方程,不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在平面直角坐标系中,已知抛物线y
2
=2px(p>0),过定点A(p,0)作直线交该抛物线于M、N两点.
(I)求弦长|MN|的最小值;
(II)是否存在平行于y轴的直线l,使得l被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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