(I)设P(a,0),Q(0,b)(b>0), ∵点M在直线PQ上,•=0, ∴•=(a,3)•(-a,b)=-a2+3b=0, ∴a2=3b,
| 设M(x,y),由=-得, | (x-a,y)-=(-x,-y+b) |
| |
∴∴ ∴y=x2(x≠0) 点M的轨迹方程为y=x2(x≠0). (II)解法一:设S(x1,),R(x2,)(x1≠x2), 则直线SR的方程为:y-=(x-x1) 即y=(x1+x2)x-. ∵A点在SR上, ∴y0=(x1+x2)x0-① 对y=x2求导得:y′=x. ∴抛物线上S、R处的切线方程为:y-=x1(x-x1)即y=-② y-=x2(x-x2)即y=-③ 联立②③,并解之得代入①得 y0=-y,即x0x-2y-2y0=0, 故切线的交点在定直线x0x-2y=2y0=0上. 解法二:当过点A的直线斜率不存在时与题意不符.设直线SR的方程为y-y0=k(x-x0) 代入抛物线方程得x2-4kx+4x0k-4y0=0. 设S1(x1,),R(x2,)(x1≠x2) 由韦达定理(*) 又过S,R点的切线方程分别是:y=x-,y=x- ∴两切线的交点为, 代入(*)得(k为参数), 消去k,得x0x-2y-2y0=0 故切线的交点在定直线x0x-2y-2y0=0上. |