已知椭圆9x2+2y2=18上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且PM=2MQ,点M的轨迹为曲线E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)若
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已知椭圆9x2+2y2=18上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且PM=2MQ,点M的轨迹为曲线E.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)若
题型:青岛一模
难度:
来源:
已知椭圆9x
2
+2y
2
=18上任意一点P,由P向x轴作垂线段PQ,垂足为Q,点M在线段PQ上,且
PM
=2
MQ
,点M的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若过定点F(0,2)的直线l交曲线E于不同的两点G,H(点G在点F,H之间),且满足
FG
=
1
2
FH
,求直线l的方程.
答案
(I)设点P(x
0
,y
0
)是椭圆上一点,则Q(x
0
,0),M(x,y)
由已知
PM
=2
MQ
得:x
0
=x,y
0
=3y代入椭圆方程得9x
2
+18y
2
=18,
即x
2
+2y
2
=2为曲线E的方程.
(II)设G(x
1
,y
1
),H(x
2
,y
2
),
当直线GH斜率存在时,设直线GH的斜率为k
则直线GH的方程为:y=kx+2,
代入x
2
+2y
2
=2,得:(
1
2
+k
2
)x
2
+4kx+3=0,
由△>0,解得:k
2
>
3
2
,
x
1
+
x
2
=
-4k
1
2
+
k
2
,
x
1
x
2
=
3
1
2
+
k
2
,
∵
FG
=(
x
1
,
y
1
-2)
,
FH
=(
x
2
,
y
2
-2)
,又有
FG
=
1
2
FH
.
∴
x
1
=
1
2
x
2
.∴
x
1
+
x
2
=
-4k
1
2
+
k
2
x
1
x
2
=
3
1
2
+
k
2
x
1
=
1
2
x
2
化为
(
-8k
3(1+2
k
2
)
)
2
=
3
1+2
k
2
,即10k
2
=27.
解得:
k
2
=
27
10
>
3
2
,
∴
k=±
3
30
10
,
∴直线l的方程为:y=
±
3
30
10
x+2,
当直线GH斜率不存在时,直线的l方程为x=0,
此时
FG
=
1
3
FH
与
FG
=
1
2
FH
矛盾不合题意.
∴所求直线l的方程为:y=
±
3
30
10
x+2.
举一反三
已知抛物线y
2
=4x及点P(2,2),直线l的斜率为1且不过点P,与抛物线交于点A,B,
(1)求直线l在y轴上截距的取值范围;
(2)若AP,BP分别与抛物线交于另一点C、D,证明:AD,BC交于定点.
题型:佛山二模
难度:
|
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已知曲线C:x
2
-y|y|=1.
(1)画出曲线C的图象,
(2)若直线l:y=x+m与曲线C有两个公共点,求m的取值范围;
(3)若过点P(0,2)的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M,N,求t=
OM
•
OP
+
OM
•
PN
的范围.
题型:不详
难度:
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若抛物线y
2
=2px的焦点与双曲线
x
2
3
-y
2
=1的右焦点重合,则实数p=______.
题型:江苏二模
难度:
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直线y=x+5与曲线
x|x|
9
+
y
2
25
=1
的交点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:宁波模拟
难度:
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(理)高10米和高15米的两根旗杆竖在地面上,且相距20米,则地面上到两旗杆顶的仰角相等的点P的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:宁波模拟
难度:
|
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