如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x2+y2﹣2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x﹣my﹣1=0相交于A、B两点

题型：山东省期末题难度：来源：

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x²+y²﹣2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x﹣my﹣1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．

答案

解：（I）设椭圆方程为（a＞b＞0），
圆F的标准方程为（x﹣1）²+y²=1，圆心为F（1，0），
圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²﹣c²=4﹣1=3，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，消元可得（3m²+3）y²+6my﹣9=0
∴y₁+y₂=﹣，y₁y₂=﹣
∴|y₁﹣y₂|=
∴S_△AOB=|OF||y₁﹣y₂|=
令，则t≥1，m²=t²﹣1
∴S_△AOB=
∴S′_△AOB=
∵t≥1，
∴S′_△AOB＜0
∴S_△AOB在t∈[1，+∞）上是减函数
∴当t=1时，S_△AOB取得最大值，最大值为。