已知点M,N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,点P是线段MN的中点,且|MN|=2,动点P的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程,并讨论方程所表示的
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已知点M,N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,点P是线段MN的中点,且|MN|=2,动点P的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程,并讨论方程所表示的
题型:不详
难度:
来源:
已知点M,N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,点P是线段MN的中点,且|MN|=2,动点P的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程,并讨论方程所表示的曲线类型;
(2)设m=
2
2
时,过点A(-
2
6
3
,0)的直线l与曲线C恰有一个公共点,求直线l的斜率.
答案
(1)设P(x,y),M(x
1
,mx
1
),N(x
2
,-mx
2
),
依题意得
x
1
+
x
2
=2x
m
x
1
-m
x
2
=2y
(
x
1
-
x
2
)
2
+
(m
x
1
+m
x
2
)
2
=
2
2
,
消去x
1
,x
2
,整理得
x
2
1
m
2
+
y
2
m
2
=1
,
当m>1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆,
当0<m<1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆,
当m=1时,方程表示圆.
(2)当m=
2
2
时,方程为
x
2
2
+
y
2
1
2
=1
,
设直线l的方程为y=k(x+
2
6
3
),与椭圆方程联立
x
2
2
+
y
2
1
2
=1
y=k(x+
2
6
3
)
,
消去y得(1+4k
2
)x
2
+
16
6
3
k
2
x+
32
k
2
3
-2=0,
根据已知可得△=0,
故有(
16
6
3
k
2
)
2
-4(1+4k
2
)(
32
k
2
3
-2)=0,k
2
=
3
4
∴直线l的斜率为k=±
3
2
.
举一反三
点P为圆O:x
2
+y
2
=a
2
(a>0)上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若动直线l与曲线C交于A、B两点,当△OAB(O是坐标原点)面积取得最大值,且最大值为1时,求a的值.
题型:不详
难度:
|
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若函数f(x)=
lo
g
a
(
3
x
-2)
+1 (a>0,a≠1)的图象过定点P,点Q在曲线x
2
-y-2=0上运动,则线段PQ中点M轨迹方程是______.
题型:杨浦区一模
难度:
|
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平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两定点A(1,0)、B(0,-1),动点P(x,y)满足:
OP
=m
OA
+(m-1)
OB
(m∈R)
.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点P的轨迹与双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
交于相异两点M、N.若以MN为直径的圆经过原点,且双曲线C的离心率等于
3
,求双曲线C的方程.
题型:海淀区二模
难度:
|
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已知F
1
(-1,0),F
2
(1,0),A(
1
2
,0),动点P满足3
P
F
1
•
PA
+
P
F
2
•
PA
=0.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)是否存在点P,使PA成为∠F
1
PF
2
的平分线?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知平面上两个定点
M
(0,-2)
、
N
(0,2)
,P为一个动点,且满足
MP
•
MN
=
|
PN
|•|
MN
|
.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若A、B是轨迹C上的两个不同动点
AN
=λ
NB
.分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设其交点为Q,证明
NQ
•
AB
为定值.
题型:东城区一模
难度:
|
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