近几年来,我国许多地区经常出现干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知,某地在未来5天的指定时间的降雨概率是:前3天均为50%,后2天均为80%,5

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近几年来,我国许多地区经常出现干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知,某地在未来5天的指定时间的降雨概率是:前3天均为50%,后2天均为80%,5天内任何一天的该指定时间没有降雨,则在当天实行人工降雨,否则,当天不实施人工降雨.
(1)求至少有1天需要人工降雨的概率.
(2)求不需要人工降雨的天数x的分布列和期望.

答案

(1)    (2) x的分布列是:

x	0	1	2	3	4	5
P

3.1

解析

(1)5天全不需要人工降雨的概率是P₁=()³·()²=,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P₁=1-=.
(2)x的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(x=5)=P₁=,
4天不需要人工降雨的概率是:
P(x=4)=()³×+()³()²=
=,
3天不需要人工降雨的概率是:
P(x=3)=()³()²+()³()()+()³()²=,
2天不需要人工降雨的概率是:
P(x=2)=()³()²+()³()×()+()³×()²=,
1天不需要人工降雨的概率是:
P(x=1)=()³()²+()³()()=,
0天不需要人工降雨的概率是:
P(x=0)=()³()²=,
故不需要人工降雨的天数x的分布列是:

x	0	1	2	3	4	5
P

不需要人工降雨的天数x的期望是:
E(x)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.1.
【方法技巧】求离散型随机变量均值与方差的基本方法
(1)定义法:已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解.
(2)性质法:已知随机变量ξ的均值与方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的均值与方差,可直接利用均值、方差的性质求解.
(3)公式法:如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布,二项分布等),可直接利用它们的均值、方差公式求解.