试题分析:(1)=,,则解得,所以在内单调递增;故①正确. (2)和之间存在“隔离直线”,设“隔离直线”为,当“隔离直线”与同时相切时,截距最小,令切点坐标为,则切线方程为所以,故,所以,此时截距最小,故②正确;此时斜率为,k的取值范围是.故③错误. ④令F(x)=h(x)-m(x)=x2-2elnx(x>0),再令F′(x)═=0,x>0,得x=, 从而函数h(x)和m(x)的图象在x=处有公共点. 因此存在h(x)和m(x)的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则 隔离直线方程为y-e=k(x-),即y=kx-k+e. 由h(x)≥kx-k+e可得 x2-kx+k-e≥0当x∈R恒成立, 则△=k2-4k+4e=≤0,只有k=2时,等号成立,此时直线方程为:y=2x-e. 同理证明,由φ(x )≤kx-k+e,可得只有k=2时,等号成立,此时直线方程为:y=2x-e. 综上可得,函数f(x)和g(x)存在唯一的隔离直线y=2x-e,故④正确. |