已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*).对于A的一个子集S,若S满足性质P:“存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1

已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*).对于A的一个子集S,若S满足性质P:“存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1

题型:不详难度:来源:
已知集合A={1,2,3,…,2n}(n∈N*).对于A的一个子集S,若S满足性质P:“存在不大于n的正整数m,使得对于S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m”,则称S为理想集.对于下列命题:
①当n=10时,集合B={x∈A|x>9}是理想集;
②当n=10时,集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}是理想集;
③当n=1 000时,集合S是理想集,那么集合T={2 001-x|x∈S}也是理想集.
其中的真命题是______(写出所有真命题的序号).
答案
①当n=10时,集合A={1,2,3,…,19,20},B={x∈A|x>9}={10,11,12,…,19,20}不具有性质P,因为对任意不大于10的正整数m,
  都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m,使得|b1-b2|=m成立.所以①错误.
②集合C={x∈A|x=3k-1,k∈N*}具有性质P.因为可取m=1<10,对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1,c2=3k2-1,k1,k2∈N*
都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1.所以②正确.
③当n=1000时,则A={1,2,3,…,1999,2000},若集合S具有性质P,那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P.

因为T={2001-x|x∈S},任取t=2001-x0∈T,其中x0∈S,
因为S⊆A,所以x0∈{1,2,3,…,2000},
从而1≤2001-x0≤2000,即t∈A,所以T⊆A.
由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,
使得对S中的任意一对元素s1,s2,都有|s1-s2|≠m.
对于上述正整数m,从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1,t2=2001-x2,其中x1,x2∈S,
则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m,
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性质P.所以③正确.
故答案为:②③.
举一反三
下列四个结论中:
①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;
②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;
④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.
正确的是(  )
A.①与②B.①与④C.②与④D.①与③
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设p:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q:函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则实数a的取值范围是______.
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下列表述:①综合法是执因导果法;②分析法是间接证法;③分析法是执果索因法;④反证法是直接证法.正确的语句是______(填序号).
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给出命题:若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则直线l与平面α垂直,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是(  )
A.3B.2C.1D.0
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下列命题为真命题的是(  )
A.函数y=sin2x-cos2x是奇函数
B.已知命题p:对任意实数x,都有
1
x2-1
<0,则非p可表示为:至少存在一个实数x0,使x0≤-1,或x0≥1
C.“
t1
1
x
dx
>0”是“t2+t-2>0”的必要不充分条件
D.存在实数m,使2与m-1的等比中项为m
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