证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

题型：不详难度：来源：

证明一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

答案

充分性：若ac＜0,则b²-4ac＞0,且＜0,
∴方程ax²+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b²-4ac＞0,x₁x₂=＜0,∴ac＜0.
综上所述，一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.

解析

充分性：若ac＜0,则b²-4ac＞0,且＜0,
∴方程ax²+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b²-4ac＞0,x₁x₂=＜0,∴ac＜0.
综上所述，一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.