求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0．
题型：不详难度：来源：
| 求证：当f（x）=ax2+bx+c（a≠0）时，方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0． |
答案
证明：必要性：设方程ax2+bx+c=0有不等实根x1＜x2，
根据韦达定理有x1+x2=-，x1•x2=，
取x0==-，代入函数解析式可得
f（x0）=a(-)2+b(-)+c=，
因为方程有两个实根，所以b2-4ac＞0，
所以a•f（x0）=＜0成立；
充分性：如果存在x0使得a•f（x0）＜0，即a2x2+abx+ac＜0在x=x0处成立，
因为a2＞0，根据二次函数特点，x=-处，a2x2+abx+ac 取得最小值，
为f（-）=ac-，既然它是最小值，那么f（-）≤f（x0）＜0，
所以ac-＜0，即b2-4ac＞0，故原方程必然有2个不等实根；
综上可得：方程ax2+bx+c=0有不等实根的充要条件是：存在x0∈R使得a•f（x0）＜0． |
举一反三
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，则“f（x）是周期函数”的一个充要条件是（ ）| A．f（x）=cosx | B．∀α∈R，f（α+x）=f（α-x） | | C．f（1+x）=f（1-x） | D．∃α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x） |
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给定p：x＜-3或x＞1，q：2＜x＜3，则¬p是¬q的（ ）| A．充分不必要条件 | B．必要不充分条件 | | C．充要条件 | D．既不充分也不必要条件 |
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“命题∃x∈R，x2+ax-4a≤0为假命题”是“-16≤a≤0”的（ ）| A．充分不必要条件 | B．必要不充分条件 | | C．充要条件 | D．既不充分也不必要条件 |
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| 在空间中，“直线a⊄平面α”是“直线a∥平面α”成立的______条件．（填“充分不必要”、“充分必要”、“必要不充分”中的一种） |
| 已知命题p：x2-8x-20≤0，命题q：x2-2x+1-m2≤0（m＞0），且¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． |
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