(I)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100130-96056.png) 又 ,∴△AOC是等腰直角三角形. 这样可由A(2,0),得到C(1,1),根据点C在椭圆上,a=2,可求出椭圆方程. (II)因为 , 从而可知F为有向线段BA的内分点,再借助分点坐标公式求出F的坐标.再证明 即可. (III)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴 ∴PC与CQ所在直线关于x=1对称,kpC=k,则kcQ=-k,设C(1,1),则PC的直线方程y-1=k(x-1) y=k(x-1)+1 ,QC的直线方y-1=-k(x-1) y=-k(x-1)+1,将直线PC的方程与椭圆方程联立消y得关于x的一元二次方程,可知x=1是其方程的一个根,这样可根据韦达定理可求出另一个根xp;同样的方法可求出xQ,从而可利用 求出PQ斜率,如果与AB的斜率相等,就说明这两个向量共线,从而说明存在实数λ,使得 . 解:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100130-96056.png) 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100130-56752.png) ∴△AOC是等腰直角三角形. ∵A(2,0),∴C(1,1)而点C在椭圆上, ∴ . ∴所求椭圆方程为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100129-66262.png) (Ⅱ)证明C(1,1),则B(-1,-1) 又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100132-48652.png) 即点F分 所成的定比为2. 设![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100133-37701.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100133-86645.png) CF⊥x轴, ∴∠ACF=∠FCB=45°,即CF平分∠BCA. (Ⅲ)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴 ∴PC与CQ所在直线关于x=1对称,kpC=k,则kcQ=-k, 设C(1,1),则PC的直线方程y-1=k(x-1) y=k(x-1)+1 ① QC的直线方y-1=-k(x-1) y=-k(x-1)+1 ② 将①代入 得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0 ③ ∵C(1,1)在椭圆上,∴x=1是方程③的一个根, ∴xp·1= =1同理将②代入x2+3y2=4得 (1+3k2)x2-6k(k+1)x+3k2+6k-1=0 ④ ∵C(1,1)在椭圆上, ∴x=1是方程④的一个根, ∴xQ·1= ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100133-44180.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103100134-17975.png) ∴存在实数λ,使得 . |