解:(Ⅰ)依题意,可设双曲线C的方程为, 由已知得C的一个焦点, 所以C的另一个焦点为, 由, 得, 又a=2, 所以,, 所以,双曲线C的方程为。 (Ⅱ)关于双曲线C的类似命题为:过双曲线的焦点F1(2,0)作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则为定值,且定值是。 证明如下:由于l与x轴不垂直,可设直线l的方程为:y=k(x-2), ①当k=0时,l与x轴重合,,命题正确; ②当k≠0时,由得, 依题意l与C有两个交点A,B,所以,, 设, 则,, 所以线段AB的中点P的坐标为, AB的垂直平分线MP的方程为:, 令y=0,解得:, 即,所以,, 又
, 所以,。 (Ⅲ)过圆锥曲线E的焦点F作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线l交E于A,B两点,线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M,则为定值,定值是(其中e为圆锥曲线E的离心率)。 |