已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=。不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直
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已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=。不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直
题型:四川省高考真题
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已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=
。不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍。设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N。
(I)求E的方程;
(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由。
答案
解:(Ⅰ)设P(x,y),则
化简得
;
(Ⅱ)①当直线BC与x轴不垂直时,设BC的方程为y=k(x-2)(k≠0),与双曲线方程
联立消去y得(3-k
2
)x
2
+4k
2
x-(4k
2
+3)=0
由题意知,3-k
2
≠0且△>0
设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
)
则
因为
所以直线AB的方程为
因此M点的坐标为
同理可得
因此
②当直线BC与x轴垂直时,其方程为x=2
则B(2,3),C(2,-3),AB的方程为y=x+l
因此M点的坐标为
,
同理可得
因此
综上
即
故以线段MN为直径的圆过点F。
举一反三
与双曲线
有共同的渐近线且过点(-3,2
)的双曲线方程为( )。
题型:0117 期末题
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已知双曲线
的两条渐近线均和圆C:x
2
+y
2
-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:山东省高考真题
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已知双曲线
和椭圆
有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为( )。
题型:山东省高考真题
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设圆C与两圆(x+
)
2
+y
2
=4,(x-
)
2
+y
2
=4中的一个内切,另一个外切。
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(
,
),F(
,0)且P为L上动点,求
题型:MP|-|FP
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已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B 两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:高考真题
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