已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足|PC|•|BC|=PB•CB(Ⅰ)求点P的轨迹C对应的方程;(Ⅱ)已知点A(m,2)在曲线C上,过

已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足|PC|•|BC|=PB•CB(Ⅰ)求点P的轨迹C对应的方程;(Ⅱ)已知点A(m,2)在曲线C上,过

题型:不详难度:来源:
已知点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足|


PC
|•|


BC
|=


PB


CB

(Ⅰ)求点P的轨迹C对应的方程;
(Ⅱ)已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD⊥AE,判断:直线DE是否过定点?并证明你的结论.
答案
(I)设P(x,y)代入|
.
PC
|•|
.
BC
|=
.
PB
.
CB


(x-1)2+y2
=1+x,化简得y2=4x
.(4分)
(II)将A(m,2)代入y2=4x得m=1,
∴点A的坐标为(1,2).(5分)
设直线DE的方程为x=my+t代入y2=4x,得y2-4my-4t=0,设D(x1,y1),E(x2,y2
则y1+y2=4m,y1•y2=-4t,△=(-4m)2+16t>0(*)(6分)


AD


AE
=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4
=
y21
4
y22
4
-(
y21
4
+
y22
4
)+y1y2-2(y1+y2)+5
=
(y1y2)2
16
-
(y1+y2)2-2y1y2
4
+y1y2-2(y1+y2)+5
=
(-4t)2
16
-
(4m)2-2(-4t)
4
+(-4t)-2(4m)+5=0化简得t2-6t+5=4m2+8m

即t2-6t+9=4m2+8m+4即(t-3)2=4(m+1)2
∴t-3=±2(m+1)
∴t=2m+5或t=-2m+1,代入(*)式检验知只有t=2m+5满足△>0(7分)
∴直线DE的方程为x=m(y+2)+5
∴直线DE过定点(5,-2)(8分)
举一反三
已知


a
=


3i
+2


j
-


k


b
=


i
-


j
+2


k
,则5


a
与3


b
的数量积等于
(  )
A.-15B.-5C.-3D.-1
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|


a
|=|


b
|=|


c
|=1,


a
+


b
+


c
=0,则


a


c
+


b


c
+


a


b
=______.
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已知向量


a


b
的夹角为60°,|


a
|=3,|


b
|=4,则(2


a
-


b
)•


a
等于______.
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已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.设


FA


FB
=
8
9
,则△BDK的内切圆的半径r=______.
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已知圆C经过点P1(1,0),P2(1,2),P3(2,1),斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点.点G为弦MN的中点.
(Ⅰ)求圆C的方程
(Ⅱ)当


OC


OG
取得最大值时,求直线l的方程.
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