已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．设FA•FB=89，则△BDK的内切圆的半径r=_

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．设

FA

•

FB

=

8

9

，则△BDK的内切圆的半径r=______．

答案

设L与C 的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则D（x₁，-y₁）．
抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
设过点K（-1，0）的直线L：x=my-1，代入抛物线方程，整理得y²-4my+4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，

FA

•

FB

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=4（m²+1）-8m²+4=8-4m²=

8

9

，
∴m2=

16

9

∴m=±

4

3

∴y₂-y₁=4

m2-1

=

4 7

3

，
∴BD的斜率k₁=

y2+y1

x2-x1

=

4

y2-y1

=

3

7

，
∴BD：y=

3

7

（x-1）．
圆心M在x轴上，设为（a，0），
∵M到x=

4

3

y-1和到BD的距离相等，∴|a+1|×

3

5

=|

3

7

（a-1）|×

7

4

，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=

1

9

．
∴半径r=

2

3

，
故答案为：

2

3

．