(1)设动点P(x,y),又点M(4,0)、N(1,0), ∴=( x-4 , y ),=( -3 , 0 ),=( x-1 , y ). …(3分) 由 • =6||,得-3( x-4 )=6,…(4分) ∴(x2-8x+16)=4(x2-2x+1)+4y2,故3x2+4y2=12,即+=1, ∴轨迹C是焦点为(±1,0)、长轴长2a=4的椭圆; …(7分) 评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣(1分). (2)椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离. 设直线l1的方程为x+2y+m=0(m≠-12). …(8分) 由,消去y得4x2+2mx+m2-12=0(*). 依题意得△=0,即4m2-16(m2-12)=0,故m2=16,解得m=±4. 当m=4时,直线l1:x+2y+4=0,直线l与l1的距离d==. 当m=-4时,直线l1:x+2y-4=0,直线l与l1的距离d==. 由于<,故曲线C上的点Q到直线l的距离的最小值为.…(12分) 当m=-4时,方程(*)化为4x2-8x+4=0,即(x-1)2=0,解得x=1. 由1+2y-4=0,得y=,故Q( 1 , ). …(13分) ∴曲线C上的点Q( 1 , )到直线l的距离最小. …(14分) |