已知O为原点，向量OA=（3cosx，3sinx），OB=（3cosx，sinx），OC=（2，0），x∈(0，π2)．（1）求证：（OA-OB）⊥OC；（2）

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已知O为原点，向量OA=（3cosx，3sinx），OB=（3cosx，sinx），OC=（2，0），x∈(0，π2)．（1）求证：（OA-OB）⊥OC；（2）

题型：不详难度：来源：
已知O为原点，向量


OA
=（3cosx，3sinx），


OB
=（3cosx，sinx），


OC
=（2，0），x∈(0，
π
2
)．
（1）求证：（


OA
-


OB
）⊥


OC
；
（2）求tan∠AOB的最大值及相应x值．
答案
（1）∵0＜x＜
π
2
，∴3sinx＞sinx，∴


OA
-


OB
≠0
又


OA
-


OB
=(0，2sinx)
∴（


OA
-


OB
）•


OC
=0×2+2sinx×0=0
∴（


OA
-


OB
）⊥


OC
．
（2）tan∠AOC=
3sinx
3cosx
=tanx，tan∠BOC=
sinx
3cosx
=
1
3
tanx
∵


OA
-


OB
=


BA
，∴


BA
⊥


OC
，0＜∠AOB＜
π
2
．
∴tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC）
=
tan∠AOC-tan∠BOC
1+tan∠AOCtan∠BOC
=
tanx-
1
3
tanx
1+ 
1
3
tan2x

=
2tanx
3+tan2x
≤
2tanx
2


3tanx
=


3
3

（当tanx=


3
即x=
π
3
时取“=”）
所以tan∠AOB的最大值为


3
3
，相应的x=
π
3
举一反三
已知


a
+2


b
+3


c
=


0
，且|


a
|=|


b
|=|


c
|=1，则


a
•(


b
+


c
)=______．
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下列关系式：（1）


0
•


0
=


0
，（2）(


a
•


b
)•


c
=


a
(


b
•


c
)，（3）


a
•


b
=


b
•


a
，（4）


0
•


a
=


0
，其中正确的个数是（　　）
A．4B．3C．2D．1
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如图，四边形ABCD中，


|AB
|+|


BD
|+|


DC
|=4，|


AB
|•|


BD
|+|


BD
|•|


DC
|=4


AB
•


BD
=


BD
•


DC
=0．则(


AB
+


DC
)•


AC
的值为______．魔方格
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已知向量


a
=(Sinx，2)，


b
=(2Sinx，
1
2
)，


c
=(Cos2x，1)，


d
=(1，2)，又二次函数f（x）的图象开口向上，其对称轴为x=1．
（1）分别求


a
•


b
和


c
•


d
的取值范围
（2）当x∈[0，π]时，求不等式f(


a
•


b
)＞f(


c
•


d
)的解集．
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已知|


a
|=2，|


b
|=5，


a
•


b
=-3，则|


a
-


b
|=______．
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