已知O为原点,向量OA=(3cosx,3sinx),OB=(3cosx,sinx),OC=(2,0),x∈(0,π2).(1)求证:(OA-OB)⊥OC;(2)

已知O为原点,向量OA=(3cosx,3sinx),OB=(3cosx,sinx),OC=(2,0),x∈(0,π2).(1)求证:(OA-OB)⊥OC;(2)

题型:不详难度:来源:
已知O为原点,向量


OA
=(3cosx,3sinx),


OB
=(3cosx,sinx),


OC
=(2,0),x∈(0,
π
2
)

(1)求证:(


OA
-


OB


OC

(2)求tan∠AOB的最大值及相应x值.
答案
(1)∵0<x<
π
2
,∴3sinx>sinx,∴


OA
-


OB
≠0



OA
-


OB
=(0,2sinx)

∴(


OA
-


OB
)•


OC
=0×2+2sinx×0=0
∴(


OA
-


OB
)⊥


OC

(2)tan∠AOC=
3sinx
3cosx
=tanx
,tan∠BOC=
sinx
3cosx
=
1
3
tanx



OA
-


OB
=


BA
,∴


BA


OC
,0<∠AOB<
π
2

∴tan∠AOB=tan(∠AOC-∠BOC)
=
tan∠AOC-tan∠BOC
1+tan∠AOCtan∠BOC
=
tanx-
1
3
tanx
1+ 
1
3
tan2x

=
2tanx
3+tan2x
2tanx
2


3tanx
=


3
3

(当tanx=


3
即x=
π
3
时取“=”)
所以tan∠AOB的最大值为


3
3
,相应的x=
π
3
举一反三
已知


a
+2


b
+3


c
=


0
,且|


a
|=|


b
|=|


c
|=1
,则


a
•(


b
+


c
)
=______.
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下列关系式:(1)


0


0
=


0
,(2)(


a


b
)•


c
=


a
(


b


c
)
,(3)


a


b
=


b


a
,(4)


0


a
=


0
,其中正确的个数是(  )
A.4B.3C.2D.1
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如图,四边形ABCD中,


|AB
|+|


BD
|+|


DC
|=4
|


AB
|•|


BD
|+|


BD
|•|


DC
|=4


AB


BD
=


BD


DC
=0
.则(


AB
+


DC
)•


AC
的值为______.魔方格
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已知向量


a
=(Sinx,2),


b
=(2Sinx,
1
2
),


c
=(Cos2x,1),


d
=(1,2)
,又二次函数f(x)的图象开口向上,其对称轴为x=1.
(1)分别求


a


b


c


d
的取值范围
(2)当x∈[0,π]时,求不等式f(


a


b
)>f(


c


d
)
的解集.
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已知|


a
|=2,|


b
|=5,


a


b
=-3,则|


a
-


b
|=______.
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