如图所示,已知圆E:x2+(y﹣1)2=4交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN.(1)若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长;(

如图所示,已知圆E:x2+(y﹣1)2=4交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN.(1)若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长;(

题型:江苏期末题难度:来源:

如图所示,已知圆E:x2+(y﹣1)2=4交x轴分别于A,B两点,交y轴的负半轴于点M,过点M作圆E的弦MN.
(1)若弦MN所在直线的斜率为2,求弦MN的长;
(2)若弦MN的中点恰好落在x轴上,求弦MN所在直线的方程;
(3)设弦MN上一点P(不含端点)满足PA,PO,PB成等比数列(其中O为坐标原点),试探求的取值范围.



答案
解:(1)在圆E的方程中令x=0,得M(0,﹣1),
又KMN=2,
所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x,即2x﹣y﹣1=0.
∵圆心到直线MN的距离为,且r=2,

(2)因为yM+yN=0,所以yN=1,代入圆E的方程中得N(±2,1).
由M(0,﹣1),N(±2,1)得
直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0.
(3)易得
设P(x,y),则由PAPB=PO2,得

化简得
由题意知点P在圆E内,所以x2+(y﹣1)2<4,
结合①,4y2﹣4y﹣3<0,
解得
从而=
举一反三
如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值是(    )
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在△ABC中,=1,=﹣3,则AB边的长度为(    )
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如图,平面四边形ABCD中,若AC=,BD=2,则(+)(+)=(    ).
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在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=4,则=(    ).
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已知O为坐标原点,A,B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点,C(5,0)满足:,则模的最小值为(    ).
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