解:(1) , ∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|, 又 , ∴ , ∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆, 且椭圆长轴长为 ,焦距2c=2, ∴ , ∴曲线E的方程为 。 (2)动直线l的方程为: , 由 ,得 , 设 , 则 , 假设在y上存在定点G(0,m),满足题设, 则 ,
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, 由假设得对于任意的 恒成立,即 ,解得m=1。 因此,在y轴上存在定点G,使得以AB为直径的圆恒过这个点,点G的坐标为(0,1), 这时,点G到AB的距离 ,
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, 设 ,则 , 得 , 所以 , 当且仅当 时,上式等号成立。 因此,GAPB面积的最大值是 。 |