已知向量α,β,γ满足|α|=1,|α-β|=|β|,(α-γ)·(β-γ)=0.若对每一个确定的β,|γ|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意β,m-n的最
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已知向量α,β,γ满足|α|=1,|α-β|=|β|,(α-γ)·(β-γ)=0.若对每一个确定的β,|γ|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意β,m-n的最
题型:不详
难度:
来源:
已知向量
α
,β,γ满足|
α
|=1,|α-
β
|=|
β
|,(
α
-
γ
)·(
β
-
γ
)=0.若对每一个确定的
β
,|γ|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意
β
,m-n的最小值是( )
A.
B.1
C.2
D.
答案
A
解析
方法一,设
α
=(1,0),β=
,γ=(x,y),由(
α
-
γ
)·(
β
-
γ
)=0,得(x-1,y)
=0,即x
2
-
x+
+y
2
-ty=0,配方得
.|γ|的几何意义是圆上的点到坐标原点的距离,其最大值为圆心到坐标原点的距离加圆的半径,最小值为圆心到坐标原点的距离减去圆的半径,最大值与最小值之差为圆的直径,故m-n=2
≥
,当且仅当t=0时等号成立,此时
β
=
.
方法二,将向量
α
,β,γ的起点放在点O,终点分别记作A,B,C.由|
α
-
β
|=|
β
|可知点B在OA的垂直平分线上.根据(
α
-
γ
)·(
β
-
γ
)=0知点C在以AB为直径的圆上,则m-n为圆的直径.又因为OB=AB,故只要OB最小即得,结合图形,在点B为OA的中点时取得,即m-n的最小值为
.
举一反三
已知向量
,
,
,则“
”是“
”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
题型:不详
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|
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在
中,
,则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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|
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下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a,b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|;
②对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;
③在△ABC中,
+
-
=0;
④在四边形ABCD中,(
+
)-(
+
)=0;
⑤在△ABC中,
-
=
.
A.①②③
B.②④⑤
C.②③④
D.②③
题型:不详
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|
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如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB上的中线,它们交于点G,则下列各等式不正确的是( )
A.
=
B.
=2
C.
=
D.
+
=
题型:不详
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|
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已知a,b是不共线的向量,
=λa+b,
=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件是( )
A.λ+μ=2
B.λ-μ=1
C.λμ=-1
D.λμ=1
题型:不详
难度:
|
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