(1)解:a=时,求导函数可得
=.
f(x)的定义域为(﹣,+∞).
当﹣<x<﹣1时,f"(x)>0;
当﹣1<x<时,f"(x)<0;
当x>时,f"(x)>0.
从而,f(x)在(﹣,﹣1),(,+∞)单调增加,在(﹣1,)单调减少.
∵,f()=
∴不等式等价于
∴
∴0≤x<ln22即所求不等式的解集为{x|0≤x<ln22}.
(2)证明:依题意,f(x)的定义域为(﹣a,+∞),
令g(x)=2x2+2ax+1,因为g(﹣a)=1=g(0)>0,
g(x)的对称轴为x=﹣0.5a>﹣a,△=4a2﹣8a>0(a2>2),g(﹣a)=1>0
∴g(x)在(﹣a,+∞)有两个零点.即方程2x2+2ax+1=0有两相异解
由已知f(x)的定义域为{x|x>﹣a}且,
若m,n(m>n)方程2x2+2ax+1=0有两相异解,则f"(x)>0的解集为(﹣a,n)∪(m,+∞)(∵a>0)
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