如图,在三棱锥中,,,为的中点,,=.(1)求证:平面⊥平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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如图,在三棱锥中,,,为的中点,,=.(1)求证:平面⊥平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥
中,
,
,
为
的中点,
,
=
.
(1)求证:平面
⊥平面
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
答案
(1)见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)欲证面面垂直,应先证线线垂直、线面垂直.注意到在
中的边长关系,应用勾股定理逆定理可得
为直角三角形,
.
又
,且
是
的中点,可得
,从而证得
平面
,即证得
平面
平面
.
(2)以
点为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用“向量法”求解.
确定平面
的一个法向量为
,
根据
,得到直线
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:(1)证明:在
中,
,
,
,
则
为直角三角形,
所以,
.
又由已知
,
且
是
的中点,可得
又
,
平面
又
面
平面
平面
.(6分)
(2)以
点为坐标原点,建立如图
所示直角坐标系,
则
,
.
设平面
的法向量为
,则有
即
解得:
,
所以,平面
的一个法向量为
,
,
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.(12分)
举一反三
如图,在斜三棱柱
中,侧面
⊥底面
,侧棱
与底面
成60°的角,
.底面
是边长为2的正三角形,其重心为
点,
是线段
上一点,且
.
(1)求证:
//侧面
;
(2)求平面
与底面
所成锐二面角的余弦值;
题型:不详
难度:
|
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如图1,在直角梯形
中,
,
,
,点
为
中点.将
沿
折起,使平面
平面
,得到几何体
,如图2所示.
(1)在
上找一点
,使
平面
;
(2)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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设m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
(1)若m⊥α,n∥α,则m⊥n
(2)若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ
(3)若m∥α,n∥α,则m∥n
(4)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
其中真命题的序号是
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,若点E,F分别是PC,BD的中点。
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAD⊥平面PCD
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为2的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为棱CC
1
的中点。
(1)求证:BD⊥AE;
(2)求点A到平面BDE的距离.
题型:不详
难度:
|
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