在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且.（1）证明：平面平面；（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.

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在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且.（1）证明：平面平面；（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.

题型：不详难度：来源：
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为直角三角形，，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若AB=2AE，求异面直线BE与AC所成角的余弦值.
答案
（1）详见解析；（2）.
解析

试题分析：（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.
（2）作DE的中点F，连接OF，AF，由于O是DB的中点，且OF∥BE，可知∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角；设正方形ABCD的边长为2，则，由于，AB=2AE，
可知，，则，又，∴=,由余弦定理的推理∴∠FOA==，故异面直线BE与AC所成的角的余弦值为.
试题解析：（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分
又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，                        4分
所以DB⊥平面AEC，BD面BED
故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分
（2）作DE的中点F，连接OF，AF，

∵O是DB的中点，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其补角是异面直线BE与AC所成的角。 8分
设正方形ABCD的边长为2，
则，     9分
∵，AB=2AE，
∴，，∴                  10分
又，∴=,∴∠FOA==
∴异面直线BE与AC所成的角的余弦值为 12分.
举一反三
已知直线⊥平面，直线m，给出下列命题：
①∥ ②∥m; ③∥m ④∥其中正确的命题是（ ）
A．①②③B．②③④C．②④D．①③

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已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，有下列命题：
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α；其中正确命题的个数是(　　)．
A．1B．2C．3D．4

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已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是(　　)．
A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β

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设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是(　　)．
A．若a⊂α，b⊂β，且α∩β＝l，则a∥b
B．若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b⊂α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b

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在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．
①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是.
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